基本函数 $$ y=f(x) $$ 导数记作$$ {f}'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} $$ 推导$$ {f}'(x_{0})=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}} $$ 二阶导数$$ [f'(x)]'=f''(x)=y''=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d}^{2} f(x)}{\mathrm{d} x^{2}} $$ 高阶导数 $$ f^{(n)}(x)=y^{(n)}=\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} x^{n}} = \frac{\mathrm{d}^{n} f(x)}{\mathrm{d} x^{n}} $$ 偏导数,对于函数 $ F=f(x,y)=x^2+xy+y^2 $ $$ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y $$ $$ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y $$

定积分 $$ \int_{b}^{a}f'(x){\mathrm{d} x}=f(b)-f(a) $$ 不定积分 $$ \int f'(x){\mathrm{d} x}= f(x) $$

定义1 $$ e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{n})^n $$ 定义2 $$ e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}= \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$ 性质 $$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^x=e^x $$

泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial）
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有： $$ f(x)= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n}(x) $$ 常见泰勒级数 $$ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+ x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \ldots $$ $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \ldots $$ $$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \ldots $$

$$ e^{ix}=\cos x + i\sin x $$ 欧拉恒等式$$ e^{i\pi}+1=0 $$

1. 傅里叶变换$$ F(\omega)= \mathcal{F}[f(t)]=\int_{\infty}^{-\infty}f(t)e^{-i \omega t}\mathrm{d}t $$
2. 傅里叶逆变换 $$ f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]= \frac{1}{2\pi} \int_{\infty}^{-\infty}F(\omega)e^{i \omega t}\mathrm{d}\omega $$

卷积表示一种运算，可以有多种理解，可以简单理解为权重叠加

1. 连续定义$$ (f*g)(n)= \int_{\infty}^{-\infty}f(\tau)g(n-\tau)\mathrm{d} \tau $$
2. 离散定义$$ (f*g)(n)= \sum_{\tau=-\infty}^{\infty}f(\tau)g(n-\tau) $$

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

$$ P\left \{ E[x]=\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i \right \}=1 $$ 这个就是大数定理的公式形式，即当N趋近于无穷大的时候，平均值等于期望的概率为100%

蒙特卡洛方法